Một kết quả cổ điển là chỉ có đúng năm khối đa diện đều lồi.

Chứng minh bằng hình học

Các mệnh đề hình học sau được biết từ Euclid trong tác phẩm Elements:

1. Mỗi đỉnh của khối đa diện phải là giao của ít nhất ba mặt.
2. Tại mỗi đỉnh của khối đa diện, tổng các góc của các mặt phải nhỏ hơn 360°.
3. Các góc tại tất cả các đỉnh của khối đa diện đều là bằng nhau do đó mỗi góc phải nhỏ hơn 360°/3=120°.
4. Các đa giác đều có từ sáu cạnh trở lên có góc là 120° trở lên nên không thể là mặt của khối đa diện đều, do đó mối mặt của khối đa diện đều chỉ có thể là các tam giác đều, hình vuông hoặc ngũ giác đều. Cụ thể:
   1. Các mặt là tam giác đều: góc ở mỗi đỉnh của tam giác đều là 60°, do đó tại mỗi đỉnh chỉ có 3, 4, hoặc 5 góc của tam giác; tương ứng ta có các tứ diện đều, khối tám mặt đều và khối hai mươi mặt đều.
   2. Các mặt là hình vuông: góc ở đỉnh hình vuông là 90°, do đó chỉ có thể có ba mặt tại mỗi đỉnh ta có khối lập phương.
   3. Các mặt là ngũ giác đều: mỗi góc ở đỉnh là 108°; do đó chỉ có thể có đúng ba mặt tại một đỉnh, khi đo ta có khối mười hai mặt đều.

Chứng minh bằng topo

Một chứng minh khá đơn giản bằng topo dựa vào các thông tin về khối đa diện. Chìa khóa của chứng minh là công thức Euler V − E + F = 2 {\displaystyle V-E+F=2} , và các quan hệ p F = 2 E = q V {\displaystyle pF=2E=qV} . Từ các đẳng thức này

2 E q − E + 2 E p = 2. {\displaystyle {\frac {2E}{q}}-E+{\frac {2E}{p}}=2.}

Một biến đổi đại số đơn giản cho ta

1 q + 1 p = 1 2 + 1 E . {\displaystyle {1 \over q}+{1 \over p}={1 \over 2}+{1 \over E}.}

Vì E {\displaystyle E} là số dương ta phải có

1 q + 1 p > 1 2 . {\displaystyle {\frac {1}{q}}+{\frac {1}{p}}>{\frac {1}{2}}.}

Dựa vào việc cả p và q ít nhất là 3, dễ dàng có năm cặp có thể của {p, q}:

{ 3 , 3 } , { 4 , 3 } , { 3 , 4 } , { 5 , 3 } , { 3 , 5 } . {\displaystyle \{3,3\},\quad \{4,3\},\quad \{3,4\},\quad \{5,3\},\quad \{3,5\}.}